线性方程组

1. 线性方程组

线性方程形如

$a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=b$

$x_1,x_2,\dots,x_n$ 为变量，$a_1,a_2,\dots,a_n$ 为系数，系数与 $b$ 为实数或复数，通常为已知数，下标 $n$ 可以是任意正整数。

线性方程组是由一个或多个有相同变量的线性方程组成的。

方程组所有可能的解的集合称为线性方程组的解集。若两个线性方程组有相同的解集，则这两个线性方程组称为等价的。

方程组解的情况可以概括为有唯一解、有无穷多解、无解。

当方程组有解时称该方程组为 相容的，如果无解则称为 不相容的。

当方程组有两个变量时，在平面空间一个线性方程就代表一条直线，当两条直线相交时有解，平行时则表示无解，重合时则有无穷多解。三个变量时则是三维空间中的一个平面，当三个平面没有共同交点时无解。

方程组的系数可以由一个矩阵表示，称为系数矩阵。如果将常数列添加到系数矩阵中则称其为增广矩阵。矩阵的维数表示其行数与列数，例如 $m\times n$ 矩阵有 $m$ 行 $n$ 列。

求解线性方程组的一般思路是将方程组用一个更容易解的等价方程组代替，变化的过程使用行消去法，可以保证变换后的方程组与之前的方程组解一致。这种操作矩阵的方法不仅仅适用于求解方程组，更适用于任意矩阵。

定义1　一个矩阵称为阶梯形矩阵，若它有以下三个性质：

每一非零行都在每一零行之上.
某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边.
某一先导元素所在列下方元素都是零.

如有以下性质，则称为简化阶梯形矩阵

每一非零行先导元素是 1.
每一先导元素 1 是该元素所在列唯一的非零元素.

定理1　(简化阶梯形矩阵的唯一性〉每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

因简化阶梯形矩阵是唯一的，故当给定矩阵化为任何一个阶梯形时，先导元素总是在相同的位置上。这些先导元素对应于简化阶梯形中的先导元素1。

行化简算法，也就是矩阵形式的消元法，分为向前步骤和向后步骤。向前步骤将增广矩阵化为阶梯形矩阵，向后步骤将阶梯形矩阵化为简化阶梯形矩阵。

定义2　矩阵中的主元位置是 A 中对应于它的阶梯形中先导元素 1 的位置。主元列是 A 中含有主元位置的列。

在方程组的增广矩阵中，主元列对应的变量为基本变量，其他变量称为自由变量。

2. 向量方程

仅含一列的矩阵称为列向量，或简称向量

$\mathbf{w}=\begin{bmatrix} w_1 \\ \vdots \\ w_n \\ \end{bmatrix}$

其中 $w_i$ 为任意实数，所有 $n$ 个元素的向量集记为 $\mathbb{R}^n$，$\mathbb{R}$ 表示向量中的元素是实数，指数 $n$ 表示每个向量中包含 $n$ 个元素。

所有元素都是零的向量称为零向量，用 $\mathbf{0}$ 表示（$\mathbf{0}$ 中元素的个数可由上下文确定）。

$\mathbb{R}^n$ 中两个向量相等当且仅当其对应元素相等。向量的基础运算有向量加法与向量乘法（数乘），向量减法可以视作两种运算的结合，例如 $\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-1)\mathbf{v}$。

给定 $\mathbb{R}^n$ 中向量 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_p$ 和标量 $c_1,c_2,\dots,c_p$，向量

$\mathbf{y}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_p\mathbf{v}_p$

称为向量 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_p$ 以 $c_1,c_2,\dots,c_p$ 为权的线性组合，线性组合中的权可以为任意实数。

向量 $\mathbf{u}=3\mathbf{v}_1-2\mathbf{v}_2$，可以解释为经过两条直线路径从原点到达 $\mathbf{u}$ 的移动指令。首先在 $\mathbf{v}_1$ 方向移动 3 个单位到达 $3\mathbf{v}_1$，然后在 $\mathbf{v}_2$ 方向移动 -2 个单位

线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合 $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_p\}$ 的线性组合的所有向量。

定义　若 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_p$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，则 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_p$ 的所有线性组合的集合用记号 $\mathrm{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_p\}$ 表示，称为由 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_p$ 所生成的 $\mathbb{R}^n$ 的子集。也就是说 $\mathrm{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_p\}$ 是所有形如

$c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_p\mathbf{v}_p$

的向量的集合，其中 $c_1,c_2,\dots,c_p$ 为标量。

要判断向量 $\mathbf{b}$ 是否属于 $\mathrm{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_p\}$，就是判断向量方程

$x_1\mathbf{v}_1+x_2\mathbf{v}_2+\cdots+x_n\mathbf{v}_n=\mathbf{b}$

是否有解，它与增广矩阵为

$\begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 &\mathbf{v}_2 &\cdots &\mathbf{v}_n & \mathbf{b} \end{bmatrix}$

的线性方程组有相同的解集，即等价。

3. 矩阵方程

向量的线性组合可以看作矩阵与向量的积。

定义　若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，它的各列为 $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\dots,\mathbf{a}_n$，若 $\mathbf{x}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，则 $A$ 与 $\mathbf{x}$ 的积（记为 $A\mathbf{x}$ ）就是 $A$ 的各列以 $\mathbf{x}$ 中对应元素为权的线性组合，即

$A\mathbf{x}= \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1& \mathbf{a}_2 &\cdots &\mathbf{a}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{bmatrix}= x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n$

当且仅当 $A$ 中的列数等于 $\mathbf{x}$ 中元素个数时 $A\mathbf{x}$ 才有定义。

线性方程组可以用矩阵方程表示

定理1　若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，它的各列为 $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\dots,\mathbf{a}_n$，同时 $\mathbf{b}$ 属于 $\mathbb{R}^n$，则矩阵方程

$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

与向量方程

$x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n=\mathbf{b}$

以及与增广矩阵为

$\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 &\mathbf{a}_2 &\cdots &\mathbf{a}_n & \mathbf{b} \end{bmatrix}$

的线性方程组都有相同的解集。

上述定理是研究线性代数问题的有力工具，使我们现在可将线性方程组用三种不同但彼此等价的观点来研究：作为矩阵方程、作为向量方程或作为线性方程组。当构造实际生活中某个问题的数学模型时，我们可自由地选择任何一种最自然的观点。于是我们可在方便的时候由一种观点转向另一种观点。任何情况下，矩阵方程、向量方程以及线性方程组都用相同方法来解——用行化简算法来化简增广矩阵。

下面讨论线性方程组解的情况。

定理2　若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则下列命题逻辑上是等价的。即同时成立或同时不成立。

对 $\mathbb{R}^n$ 中每个 $\mathbf{b}$，方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解。

Linear Algebra

2022-04-02